Hatake Kakashi
a) Giả sử 68 ¢ B. Xét các cặp số (1, 67), (2, 66), ..., (33, 35). Do 68 ¢ B nên
mỗi cặp số đều có ít nhất một số không thuộc tập A. Như vậy, có ít nhất 33 số nguyên
dương không lớn hơn 90 không thuộc tập A, mâu thuẫn vì tập A gồm 70 số nguyên dương
không vượt quá 90. Vậy 68 = B.
b) Ta sẽ chứng minh mọi số nguyên dương n với 42 < n ≤ 140, đều thuộc tập B.
• Với 42 < n < 90 : Giả sử n ¢ B.
o Nếu n là số lẻ, xét các cặp số (n − 1, 1), (n − 2, 2), ... ("z', "='). Vìn ¢ B nên
mỗi cặp số đều có ít nhất một số không thuộc tập A. Suy ra có ít nhất "z' > 21 số
nguyên dương không lớn hơn 90 không thuộc tập A, mâu thuẫn vì tập A gồm 70 số
nguyên dương không vượt quá 90.
o Nếu n là số chẵn, xét các cặp số (n − 1, 1), (n – 2, 2), ..., ("z, ";3) và số ". Vì
n ¢ B nên mỗi cặp số đều có ít nhất một số không thuộc tập A, ngoài ra † - A.
Suy ra có ít nhất - ≥ 21 số nguyên dương không lớn hơn 90 không thuộc tập A,
mâu thuẫn vì tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt quá 90.
Như vậy, tất cả các số nguyên dương n với 42 < n < 90, đều thuộc tập B.
• Với 91 ≤n ≤ 140 : Giả sử n ¢ B.
o Nếu n là số lẻ, xét các cặp số (90, n – 90), (89, n – 89), ... , ("+¹, "¹). Vi
n ¢ B nên mỗi cặp số đều có ít nhất một số không thuộc tập A. Suy ra có ít nhất
91 − "#l > 21 số nguyên dương không lớn hơn 90 không thuộc tập A, mâu thuẫn
vì tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt quá 90.
o Nếu n là số chẵn, xét các cặp số (90, n −90), (89, n–89), ..., ("Đ2, ";3) và số ".
Vìn ¢ B nên mỗi cặp số đều có ít nhất một số không thuộc tập A, ngoài ra ; # Ã.
Suy ra có ít nhất 91 – ; ≥ 21 số nguyên dương không lớn hơn 90 không thuộc tập
A, mâu thuẫn vì tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt quá 90.
Như vậy, tất cả các số nguyên dương n với 91 ≤n ≤ 140, đều thuộc tập B.
Từ hai kết quả trên, ta suy ra kết quả cần chứng minh.
