I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Câu 1: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 3\sin(2x) - 1 là:
A. max y = 2; min y = -4
B. max y = 3; min y = -1
C. max y = 2; min y = -2
D. max y = 3; min y = -4
Câu 2: Tập nghiệm của phương trình \cos x = \frac{1}{2} là:
A. x = \frac{\pi}{3} + k2\pi
B. x = \pm\frac{\pi}{3} + k\pi
C. x = \pm\frac{\pi}{6} + k2\pi
D. x = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo vectơ \vec{v} = (2; -3) biến điểm A(1; 4) thành điểm A' có tọa độ:
A. A'(3; 1)
B. A'(-1; 7)
C. A'(3; -7)
D. A'(-1; 1)
Câu 4: Cho cấp số cộng (u_n) có u_1 = 3 và u_2 = 7. Công sai d của cấp số cộng là:
A. d = 4
B. d = 3
C. d = -4
D. d = 10
Câu 5: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để mặt 6 chấm xuất hiện là:
A. \frac{1}{6}
B. \frac{1}{3}
C. \frac{1}{2}
D. 1
Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh?
A. P_3^8
B. A_3^8
C. C_3^8
D. 3!
Câu 7: Hệ số của x^2 trong khai triển (x + 2)^5 là:
A. 10
B. 40
C. 80
D. 20
Câu 8: Tìm giới hạn \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1):
A. 9
B. 5
C. 10
D. 0
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là:
A. Đường thẳng đi qua S và song song với AD
B. Đường thẳng đi qua S và song song với AB
C. Đường thẳng đi qua S và song song với BC
D. Đường thẳng đi qua S và song song với CD
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với AB // CD. Giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (SBD) là:
A. Giao điểm của AC và BD
B. Giao điểm của AC và SB
C. Giao điểm của AC và SD
D. Giao điểm của AC và BC
II. PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1 (1,0 điểm): Giải phương trình lượng giác: 2\cos^2x - \sin x - 1 = 0.
Bài 2 (1,0 điểm): Một hộp chứa 5 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 3 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được 3 viên bi có đủ cả 3 màu.
Bài 3 (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng OM và mặt phẳng (SCD).
Đáp án và Hướng dẫn Giải
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
* A. Hàm số y = 3\sin(2x) - 1 có giá trị lớn nhất là 3(1) - 1 = 2 và giá trị nhỏ nhất là 3(-1) - 1 = -4.
* D. Phương trình \cos x = \frac{1}{2} có các nghiệm là x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + k2\pi = \pm\frac{\pi}{3} + k2\pi.
* A. Phép tịnh tiến biến A(x_A, y_A) thành A'(x_A', y_A') với x_A' = x_A + v_x = 1 + 2 = 3 và y_A' = y_A + v_y = 4 + (-3) = 1.
* A. Công sai d = u_2 - u_1 = 7 - 3 = 4.
* A. Có 6 mặt, mặt 6 chấm chỉ xuất hiện 1 lần nên xác suất là \frac{1}{6}.
* C. Việc chọn 3 học sinh từ 8 học sinh không quan trọng thứ tự, nên ta dùng tổ hợp C_3^8 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56.
* B. Sử dụng công thức nhị thức Newton, số hạng tổng quát là C_k^5 x^k (2)^{5-k}. Với k=2, số hạng là C_2^5 x^2 (2)^3 = 10x^2(8) = 80x^2. Hệ số là 80.
* A. Giới hạn của hàm đa thức tại một điểm bằng giá trị của hàm tại điểm đó. \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) = 2^2 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9.
* A. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua điểm chung S và song song với hai đường thẳng song song trong hai mặt phẳng đó, tức là AD và BC.
* A. Giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (SBD) là giao điểm của AC với đường thẳng BD (đường thẳng chung của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy (ABCD)).
II. PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1:
Phương trình: 2\cos^2x - \sin x - 1 = 0
Sử dụng công thức \cos^2x = 1 - \sin^2x, ta có:
2(1 - \sin^2x) - \sin x - 1 = 0
2 - 2\sin^2x - \sin x - 1 = 0
2\sin^2x + \sin x - 1 = 0
Đặt t = \sin x với -1 \le t \le 1.
Phương trình trở thành: 2t^2 + t - 1 = 0
Giải phương trình bậc hai, ta được t_1 = -1 và t_2 = \frac{1}{2}.
* Với t = \sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi.
* Với t = \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases}
Bài 2:
Tổng số viên bi trong hộp là 5 + 4 + 3 = 12 viên.
Số cách lấy 3 viên bi bất kỳ từ 12 viên là C_{12}^3 = \frac{12!}{3!9!} = 220 cách.
Để lấy được 3 viên bi có đủ cả 3 màu, ta cần lấy 1 bi đỏ, 1 bi xanh và 1 bi vàng.
* Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi là C_5^1 = 5 cách.
* Số cách chọn 1 bi xanh từ 4 bi là C_4^1 = 4 cách.
* Số cách chọn 1 bi vàng từ 3 bi là C_3^1 = 3 cách.
Số cách lấy 3 viên bi đủ 3 màu là 5 \times 4 \times 3 = 60 cách.
Xác suất cần tìm là P = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}.
Bài 3:
a) Ta có hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Điểm chung thứ nhất là S.
Trong mặt phẳng đáy (ABCD), AC và BD cắt nhau tại O (tâm hình bình hành).
O \in AC \subset (SAC) và O \in BD \subset (SBD). Do đó, O là điểm chung thứ hai.
Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
b) Để tìm giao điểm của OM và mặt phẳng (SCD), ta làm như sau:
Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài OM cắt đường thẳng nào đó trong mặt phẳng (SCD).
Ta thấy đường thẳng CD thuộc mặt phẳng (SCD).
Trong mặt phẳng (SBD), dựng điểm phụ để tìm giao điểm.
Gọi P là giao điểm của OM và SB. À không, M là trung điểm của SB rồi.
Ta có O là trung điểm của AC và BD.
M là trung điểm của SB.
Xét tam giác SBD, OM là đường trung bình thì song song với SD.
Xét tam giác SBC, OM không liên quan đến SB và CD.
Ta xét mặt phẳng chứa OM và tìm giao tuyến của nó với mặt phẳng (SCD).
Chọn mặt phẳng phụ là (SBC) hoặc (SBD).
Trong mặt phẳng (SBD), ta có OM và SD.
Ta thấy OM nằm trong mặt phẳng (SBD) và SD nằm trong mặt phẳng (SCD).
O là trung điểm BD, M là trung điểm SB. Trong tam giác SBD, OM là đường trung bình nên OM // SD.
Do đó, OM song song với mặt phẳng (SCD), nên không có giao điểm.
Có lẽ đề bài có sai sót, hoặc bạn cần xem lại cách làm. Giả sử N là trung điểm của CD.
Giao điểm của OM và mặt phẳng (SCD)
Mặt phẳng chứa OM có thể là (SBD).
Giao tuyến của (SBD) và (SCD) là SD.
Vì OM // SD, nên OM song song với mặt phẳng (SCD).
Vì vậy, OM không cắt mặt phẳng (SCD), chúng song song với nhau.
Có thể đề bài yêu cầu tìm giao điểm của đường thẳng khác, ví dụ ON.
Tuy nhiên, với đề bài đã cho, đáp án là không có giao điểm.
