Dr.Ratio
Định lý chỉ số Atiyah–Singer được phát biểu trong bối cảnh sau. Cho M là một đa tạp mịn đóng, không biên, hữu hạn chiều, và E,F là hai bó vectơ phức mịn trên M. Một toán tử vi phân tuyến tính D: C^\infty(M;E) → C^\infty(M;F) bậc m được gọi là elliptic nếu biểu tượng chính σ_D(x,ξ): E_x → F_x là một đẳng cấu đối với mọi ξ ≠ 0 trong T^*_xM. Khi đó D mở rộng thành một toán tử Fredholm giữa các không gian Sobolev thích hợp, và chỉ số phân tích của nó được định nghĩa bởi ind_a(D) = dim ker D − dim coker D. Cốt lõi của định lý Atiyah–Singer nằm ở việc trừu tượng hóa biểu tượng chính thành một lớp K-lý thuyết: σ_D, khi được nhìn như một đẳng cấu giữa các bó vectơ trên T^*M{0}, xác định một phần tử [σ_D] trong K^0(T^*M), mà về bản chất là K-lý thuyết có compact support trên bó đồng tiếp tuyến. Chỉ số tôpô ind_t([\sigma_D]) được định nghĩa bằng cách áp dụng đẳng cấu Thom và chu kỳ Bott để đẩy phần tử này về K^0(pt) ≅ ℤ. Định lý chỉ ra rằng ind_a(D) = ind_t([\sigma_D]), nghĩa là số nghiệm độc lập của phương trình elliptic trừ đi số điều kiện ràng buộc độc lập được xác định hoàn toàn bởi dữ liệu tôpô của symbol chứ không phụ thuộc vào chi tiết phân tích vi mô của D. Bằng cách dịch biểu thức của ind_t sang ngôn ngữ lớp đặc trưng, ta thu được công thức hình học quen thuộc: đối với toán tử Dirac-type trên đa tạp spin, chỉ số bằng ∫_M Â(TM) ∧ ch(E), trong đó Â(TM) là lớp A-roof được dựng từ dạng Pontryagin qua công thức det^{1/2}(R/2 / sinh(R/2)), và ch(E) là Chern character. Trong trường hợp phức, áp dụng cho toán tử Dolbeault \bar∂ cho ta công thức Hirzebruch–Riemann–Roch: χ(M,E) = ∫*M ch(E) ∧ td(TM). Về mặt chứng minh, có hai đường tiếp cận lớn. Hướng K-lý thuyết của Atiyah–Singer xem ánh xạ symbol → chỉ số như một hàm từ K^0(T^*M) đến ℤ và chứng minh rằng hàm này thỏa mãn các tính chất tự nhiên: tính đồng biến đối với ánh xạ bó, tính multiplicative dưới product của đa tạp và toán tử, và sự kiện rằng mọi phần tử K^0(T^*M) có thể được đại diện bằng symbol của một toán tử elliptic. Nhờ Bott periodicity và isomorphism Thom, bài toán được quy về trường hợp cơ bản T^*pt và từ đó dẫn tới kết quả. Hướng thứ hai, tinh vi hơn và cục bộ hơn, dựa trên heat kernel. Viết D là toán tử Dirac-type, khi đó ind(D) = Tr(Γ e^{-tD^2}) với Γ là grading operator. Phát triển asymptotic của heat kernel K(t;x,x) khi t → 0^+ dưới phép biến đổi Getzler cho thấy rằng mật độ trace ΓK(t;x,x) có hệ số bậc t^{0} chính là dạng topological Â(TM) ∧ ch(E). Lấy tích phân trên M thu được công thức chỉ số cục bộ (local index theorem). Kỹ thuật Getzler rescaling là công cụ then chốt vì nó cô lập chính xác các thành phần bậc thấp nhất trong đại số Clifford, cho phép nhận dạng các biểu thức curvature xuất hiện trong Chern–Weil. Định lý có hàng loạt mở rộng: trong trường hợp families, với một họ toán tử elliptic D_b biến theo tham số b ∈ B, chỉ số không còn là số nguyên mà là một lớp trong K^0(B) và thỏa mãn công thức cohomology ch(Ind(D)) = π*!(ch(σ_D) ∧ Td(T_π)). Trong trường hợp equivariant, nếu một nhóm Lie G tác động lên M và D là G-equivariant, chỉ số trở thành một phân phối trên G và được tính bởi công thức định xứ Atiyah–Bott–Berline–Vergne, trong đó các điểm cố định của G quyết định toàn bộ giá trị của chỉ số. Nếu M có biên, ta phải dùng điều kiện biên APS, và chỉ số chứa thêm một hiệu chỉnh từ eta-invariant, phản ánh độ bất đối xứng phổ của toán tử trên biên. Tất cả các phép xây dựng này đều liên hệ với nhiều cấu trúc sâu trong phân tích, tôpô và hình học: calculus pseudodifferential, Bott periodicity, Thom isomorphism, Chern–Weil theory, Clifford algebras, heat kernel asymptotics, và local index density. Chính vì sự hội tụ của hàng loạt ý tưởng mức cao này mà định lý Atiyah–Singer được xem là một trong những đỉnh cao trí tuệ của toán học thế kỷ XX.
