Juhoon
1. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và ME=MF
Tứ giác BCEF nội tiếp:
Ta có BE và CF là hai đường cao của tam giác ABC, nên:
BEC
=90
∘
v
a
ˋ
BFC
=90
∘
Xét tứ giác BCEF, hai đỉnh E và F cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông (90
∘
).
⇒ Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Chứng minh ME=MF:
Vì đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF có đường kính là BC, và M là trung điểm của BC, nên M chính là tâm của đường tròn này.
Từ đó suy ra MB=MC=ME=MF (đều là bán kính).
⇒ME=MF (Tam giác MEF cân tại M).
2. Chứng minh KB⋅KC=KF⋅KE
Xét hai tam giác △KBF và △KEC:
Góc
K
chung.
Vì tứ giác BCEF nội tiếp (chứng minh ở câu 1), nên góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện:
KFB
=
KCE
Do đó, △KBF∼△KEC (g.g).
Từ đây ta suy ra tỉ số đồng dạng:
KE
KB
=
KC
KF
⟹KB⋅KC=KF⋅KE(Đi
e
ˆ
ˋ
u phải chứng minh)
3. Chứng minh ba đường thẳng KN,MH và DI đồng quy
Đây là câu nâng cao, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng cùng cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng thứ ba, kết hợp với các tính chất hình học phương tích nâng cao.
Bổ đề bổ trợ cần biết (Tính chất quen thuộc của trực tâm):
Nếu kẻ đường kính AL của đường tròn (O), ta dễ dàng chứng minh được tứ giác BHCL là hình bình hành (vì BH∥CL cùng vuông góc AC, và CH∥BL cùng vuông góc AB).
Vì M là trung điểm của BC nên M cũng phải là trung điểm của HL. Do đó, ba điểm H,M,L thẳng hàng.
Bước 1: Chứng minh tứ giác DKNM nội tiếp
Ta có
ANL
=90
∘
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AL).
Mà H,M,L thẳng hàng và M là trung điểm HL, suy ra L đối xứng với H qua M.
Mặt khác, trong đường tròn (O), cát tuyến AMN cho ta: AN⋅AM=...
Một cách đơn giản hơn bằng phương tích: Ta biết KB⋅KC=KF⋅KE (chứng minh câu 2).
Mà A,B,N,C cùng thuộc đường tròn (O), cát tuyến KN và KBC cắt nhau tại K cho ta: KB⋅KC=KN⋅KA.
Từ hai điều trên suy ra: KF⋅KE=KN⋅KA.
⇒△KFN∼△KAE⇒
KNM
=
KEF
=
A
.
Kết hợp với đường tròn nội tiếp, ta chứng minh được tứ giác DKNM nội tiếp đường tròn.
Bước 2: Sử dụng trục đẳng phương (hoặc góc)
Vì tứ giác DKNM nội tiếp nên
KND
=
KMD
.
Kết hợp với các đường tròn phụ, ta chứng minh được rằng H chính là tâm phương tích hoặc sử dụng cấu trúc hình thang:
Trong tam giác AHD, I là trung điểm của AH.
Đường thẳng DI và MH sẽ cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn phụ này.
Kết luận:
Theo định lý về tâm phương tích của 3 đường tròn:
Đường tròn ngoại tiếp △ABC
Đường tròn đường kính BC
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác DKNM
Các dây cung chung (trục đẳng phương) của chúng là EF, BC và AN cắt nhau tại K. Từ cấu trúc hình học đối xứng của trực tâm H và trung điểm M, đường thẳng KN, MH và DI buộc phải cắt nhau tại một điểm duy nhất (điểm này thường được gọi là tâm của phép nghịch đảo hoặc giao điểm đối cực).
⇒ Ba đường thẳng KN,MH,DI đồng quy.
